Strahlensätze
Grundlegendes
Es gibt 3 Arten von Strahlensätzen, wobei in der Regel oft nur die ersten 2 in der Schule behandelt werden. Der Strahlensatz dient dazu mithilfe von Verhältnissen eine gesuchte Strecke zu berechnen.
Die V – Figur
Die V – Figur besteht aus zwei Strahlen und ist Grundlage aller Strahlensätze. Der Punkt, an dem sich die Strahlen schneiden, heißt Zentrum. Zudem sind noch zueinander parallele Geraden notwendig. Dies können zwei, aber auch mehrere sein.
Wie geht’s nun weiter?
Was man nun macht, ist, dass man bestimmte Strecken einteilt, die durch Punkte gekennzeichnet werden. Diese Punkte kannst du ganz leicht herausfinden, denn es handelt sich um nichts anderes als die Schnittpunkte deiner Geraden. Das folgende Bild soll dies nochmal verdeutlichen.
Bei den grünen Buchstaben handelt es sich um die oben genannten Schnittpunkte. Sie werden häufig mit A und A‘ oder ganz allgemein mit einem Buchstaben und einem Buchstaben mit Strich bezeichnet. Damit deutet man auf eine enge Beziehung untereinander hin, ein Verhältnis.
Wir haben nun also 5 Punkte und aus diesen können wir jetzt bestimmte Strecken festlegen. Denn eine Strecke wird immer durch 2 Punkte festgelegt. Zum Beispiel wären folgende Strecken denkbar:
- [ZA] (Strecke vom Zentrum bis hin zu A)
- [ZA‘] (Strecke vom Zentrum bis hin zu A‘)
- [ZB] (Strecke vom Zentrum bis hin zu B)
- [ZB‘] (Strecke vom Zentrum bis hin zu B‘)
- [AA‘] (Strecke von A zu A‘)
- [BB‘] (Strecke von B zu B‘)
Bei den oben genannten Strecken handelt es sich dabei nur um Strecken der beiden Strahlen. Die Strecken der beiden Parallelen ergeben sich aus:
- [AB] (Strecke von A zu B)
- [A’B‘] (Strecke von A‘ zu B‘)
Die eckigen Klammern sollen andeuten, dass ich hier auf eine Strecke zwischen 2 Punkten verweise. Durch diese Strecken lassen sich jetzt sogenannte Verhältnisse untereinander festlegen. Diese sind Hauptbestandteil der Strahlensätze.
1. Strahlensatz
Was sagt das ganze nun aus? Werfen wir einen Blick auf die V – Figur, dann sehen wir, dass beide Verhältnisse nur als Verhältnis zwischen den Strahlen untereinander (siehe Strecken oben) auftreten. Dabei spricht man vom 1. Strahlensatz.
2. Strahlensatz
Beim 2. Strahlensatz spielen zudem noch die Verhältnisse zwischen den Parallelen eine Rolle. Es gilt dann:
3. Strahlensatz
Um auf den 3. Strahlensatz zu kommen, müssen wir noch eine kleine Änderung an unserer V – Figur vornehmen. Diese besteht nun nicht mehr aus zwei, sondern drei Strahlen. Haben wir drei Strahlen, so müssen wir nun auch mehrere Schnittpunkte bekommen. Die Punkte C und C‘ sind nun neu.
Der 3. Strahlensatz bezieht sich nun nur noch auf Verhältnisse zwischen den Parallelen. Folgende Verhältnisse charakterisieren den 3. Strahlensatz:
Merkregel bei allen 3 Strahlensätzen
Bei allen 3 Strahlensätzen gilt immer:
